Turunan fungsi dasar trigonometri dan implisit

Rumus Turunan Fungsi Trigonometri Implisit

Pengertian turunan fungsi trigonometri adalah sebuah turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Turunan trigonometri adalah persamaan turunan yang melibatkan fungsi – fungsi trigonometri seperti sin, cos, tan, cot, sec dan csc.

Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

Berikut ini adalah beberapa turunan dasar trigonometri yang wajib diketahui sebelum anda memecahkan persoalan turunan trigonometri:

• f(x) = sin x → f ‘(x) = cos x
• f(x) = cos x → f ‘(x) = −sin x
• f(x) = tan x → f ‘(x) = sec2 x
• f(x) = cot x → f ‘(x) = −csc2x
• f(x) = sec x → f ‘(x) = sec x . tan x
• f(x) = csc x → f ‘(x) = −csc x . cot x.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri I

Misalkan u merupakan fungsi yang dapat diturunkan terhadap x, dimana u’ adalah turunan u terhadap x, maka :

• f(x) = sin u → f ‘(x) = cos u . u’
• f(x) = cos u → f ‘(x) = −sin u . u’
• f(x) = tan u → f ‘(x) = sec2u . u’
• f(x) = cot u → f ‘(x) = −csc2 u . u’
• f(x) = sec u → f ‘(x) = sec u tan u . u’
• f(x) = csc u → f ‘(x) = −csc u cot u . u’.

Perluasan Rumus Turunan Fungsi Trigonometri II

Berikut ini adalah turunan dari fungsi-fungsi rumus sin cos tan trigonometri dalam variabel sudut ax +b, dimana a dan b adalah bilangan real dengan a≠0 :

• f(x) = sin (ax + b) → f ‘(x) = a cos (ax + b)
• f(x) = cos (ax + b) → f ‘(x) = -a sin (ax + b)
• f(x) = tan (ax + b) → f ‘(x) = a sec2 (ax +b)
• f(x) = cot (ax + b) → f ‘(x) = -a csc2 (ax+b)
• f(x) = sec (ax + b) → f ‘(x) = a tan (ax + b) . sec (ax + b)
• f(x) = csc (ax + b) → f ‘(x) = -a cot (ax + b) . csc (ax + b).

Nah, agar kita lebih mudah menghafal sifat trigonometri diatas, mari kita kerjakan beberapa contoh soal sin cos tan dan turunan trigonometri berikut ini.

Contoh soal:
1.) Turunan pertama dari f(x) = 7 cos (5 – 3x) adalah f ‘ (x) =  …..

• 35 sin (5 – 3x)
• – 15 sin (5 – 3x)
• 21 sin (5 – 3x)
• – 21 sin (5 – 3x)
• – 35 sin (5 – 3x).

Jawab :

* ingat 

* maka:

Turunan Fungsi Implisit

Dalam kalkulus, saat Anda memiliki persamaan untuk y yang dituliskan dalam bentuk x (misalnya y = x² -3x), mudah untuk menggunakan teknik-teknik penurunan dasar (disebut oleh para ahli matematika sebagai teknik-teknik turunan fungsi implisit) untuk mencari turunannya. Akan tetapi, untuk persamaan-persaman yang sulit untuk disusun dengan suku y saja pada salah satu sisi tanda sama dengan (misalnya x² + y² - 5x + 8y + 2xy² = 19), diperlukan pendekatan yang berbeda. Dengan sebuah teknik yang disebut turunan fungsi implisit, mudah untuk mencari turunan persamaan-persamaan multi variabel selama Anda sudah mengetahui dasar-dasar turunan fungsi eksplisit.
Cara Pengerjaan:
1.Turunkan suku-suku x seperti biasa.
2.Turunkan suku-suku y dan tambahkan (dy/dx) di sebelah masing-masing sukunya.
3.Gunakan aturan hasil kali atau aturan hasil bagi untuk suku-suku yang memiliki x dan y.
4.Sendirikan (dy/dx).

Contoh Soal:

Tentukan $y'=\frac{dy}{dx}$ dari $4x^2y-xy=x^3+1$ dengan turunan implisit.

Pembahasan

Pertama, kita turunkan kedua ruas terhadap x. Agar proses pengerjaan menjadi lebih sederhana, kita akan menggunakan notasi $y'$ untuk menggantikan $\frac{dy}{dx}$.$\begin{aligned} (8xy + 4x^2y')-(y+xy') &= 3x^2 \\ 8xy + 4x^2y'-y-xy' &= 3x^2 \\ 4x^2y'-xy' &= 3x^2-8xy+y \\ (4x^2-x)y' &= 3x^2-8xy+y \\ y' &= \frac{3x^2-8xy+y}{4x^2-x} \end{aligned}$

Akhirnya, kita peroleh hasil dengan turunan implisit. Jika dilihat secara sekilas, hasil ini berbeda dari hasil yang diperoleh sebelumnya. Namun coba perhatikan, ternyata hasil ini masih memuat variabel y, sedangkan hasil yang kita peroleh sebelumnya hanya memuat variabel x. Kita ketahui bahwa$\begin{aligned} y &= \frac{4x^2-x}{x^3+1} \end{aligned}$

Substitusi nilai y pada hasil yang diperoleh dengan turunan implisit.$\begin{aligned} y' &= \frac{3x^2-8xy + y}{4x^2-x} \\ &= \frac{3x^2-8x \left( \frac{x^3+1}{4x^2-x} \right) + \left( \frac{x^3+1}{4x^2-x} \right)}{4x^2-x} \\ &= \frac{ \frac{3x^2(4x^2-x)}{4x^2-x}-\frac{8x(x^3+1)}{4x^2-x} + \frac{x^3+1}{4x^2-x}}{4x^2-x} \\ &= \frac{ \frac{(12x^4-3x^3)-(8x^4 + 8x) + (x^3+1)}{4x^2-x}}{4x^2-x} \\ &= \frac{ \frac{4x^4-2x^3-8x+1}{4x^2-x}}{4x^2-x} \\ &= \frac{4x^4-2x^3-8x+1}{(4x^2-x)^2} \end{aligned}$