Kalkulus_1_Fungsi_Dan_Grafik Fungsinya

Fungsi Dan Grafik

1. Definisi fungsi

• misal : ada himpunan A dan B bila setiap elemen dari A dikaitkan dengan suatu kaitan yang khusus dengan setiap elemen di B dan kaitan tersebut mempunyai syarat atau aturan - aturan yang khusus, maka kaitan tersebut disebut fungsi.
• Contoh : jika f adalah dari A ke B kita menuliskan

F : A→B

yang artinya f memetakan A ke B
A disebut daerah asal (dominan) dari f dan Bdisebut daerah hasil (kodomain) dari f.

Notasi Fungsi

Untuk memberikan nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti f (atau g atau F). Oleh karena itu, f(x) dibaca “f dari x” atau “f pada x” menunjukkan nilai yang diberikan oleh f kepada x. Jadi jika f(x)=x3−4 maka f(1)=13−4=−3.

Macam – macam Fungsi

• MACAM-MACAM FUNGSI

1. Menurut Sifatnya
2. Fungsi Ke dalam (Into)

Fungsi satu-satu/ fungsi into/ fungsi injektif f : A B disebut fungsi satu-satu jika setiap anggota A mempunyai bayangan yang berbeda, dengan kata lain tidak ada dua anggota A yang mempunyai bayangan yang sama didalam B. Jadi jika f(a1) = f(a2) maka a1 = a2 atau jika a1 a2 maka f(a1) f(a2).

2. Fungsi Kepada (Surjektif)

Misalkan f : A B maka range f(A) B. Jika f(A) = B, yaitu setiap y B ada x A sehingga f(x) = y, maka f disebut fungsi pada/ surjektif dari A ke B.

1. Menurut Jenis dan Fungsinya
2. Fungsi Aljabar

Fungsi aljabar adalah fungsi yang aturannya meliputi operasi aljabar (tambah, kurang, kali, bagi, akar, dan pangkat).

• Fungsi Rasional

Fungsi rasional adalah fungsi yang variabel bebasnya berpangkat bilangan bulat . fungsi rasional meliputi :

• Fungsi Polinom

Fungsi polinom merupakan fungsi suku banyak bentuknya

f(x) = a_n xⁿ + a_n-1 x^n-1 +…..+ a₂x² + a₁x + a₀

 dengan  a_n ≠ 0

a₀ = suku tetap

a_n , a_n-1 , …..a, a₀ = bilangan real

contoh fungi polinom : 2x³+ 4x² +6x-5

5x² + 4x -8       dst

• Fungsi Kubik

Fungsi kubik adalah fungsi yang berpangkat tiga.

Bentuknya f(x) = ax³ + bx² +cx + d

dengan a≠ 0

Contohnya fungsi kubik : x³ + 2x² + 5x +6

• Fungsi Linear

Fungsi linear adalah fungsi yang variabelnya berpangkat 1 dan grafiknya merupakan garis lurus.

Bentuknya y = f(X) = ax + b dimana : a dan b = konstanta dan a≠ 0

Contoh dari fungsi linear: y = x+3

Langkah- langkah melukis fungsi grafik linear:

1. Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A( x1 ,0)
2. Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B (0, y1)
3. Hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus.

• Fungsi Pecahan

Bentuk umum fungsi pecahan adalah

Fungsi pecahan yang dijelaskan di sini adalah fungsi pecahan linear dan fungsi pecahan kuadrat.

1. Fungsi pecahan linear dan kuadrat 

• Fungsi Irrasional

Fungsi irrasional adalah fungsi yang variabel bebasnya terdapat di bawah tanda akar. 

2. Fungsi Transenden

Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan merupakan fungsi aljabar.

• Fungsi Goneometri

Contoh: y = f(x) = 2 sin 3x + 12

• Fungsi Eksponen

Contoh: f(x) = 12^x

• Fungsi Logaritma

Contoh: f(x) = 5log3x

• Fungsi Siklometa

Contoh: f(x) = arc sin x

3. Fungsi Mutlak

Fungsi Mutlak adalah suatu fungsi yang aturannya memuat nilai mutlak suatu bilangan real x,dinyatakan dengan |x|,didefinisikan sebagai

|x| =

4. Fungsi dengan Parameter

Fungsi bentuk parameter merupakan fungsi y = f(x) yang disajikan dengan sepasang persamaan : dengan t suatu parameter, maka untuk memperoleh dari sistem persamaan tersebut adalah dengan diasumsikan y sebegai fungsi komposisi

1. Menurut Letak Variabelnya
2. Fungsi Implisit

Fungsi Implisit merupakan lawan dari fungsi eksplisit jadi pada fungsi implisit perbedaan antar variabel bebas dan variabel tidak bebas tidak dapat dibedakan dengan jelas. Contohnya: f(x,y)= 3x + 4y

2. Fungsi Eksplisit

Fungsi Eksplisit y terhadap x adalah fungsi dengan aturan y=f(x) yang memasangkan setiap unsur di daerah asalnya dengan tepat satu unsur di daerah nilainya. Contohnya: y = 2x-5

1. Fungsi-Fungsi Khusus
2. Fungsi Identitas

f : A      A dengan f(x) = x disebut fungsi satuan jika f memetakan setiap titik anggota A ke dirinya sendiri.

2. Fungsi Konstan

Misalkan f: A     B. Fungsi f disebut fungsi konstan jika setiap anggota A dipetakan ke satu anggota B yang sama. Jadi jika x elemen A, maka f(x) = c (konstan)

3. Fungsi Komposisi

Jika fungsi f bekerja pada x untuk menghasilkan f(x) dan kemudian g bekerja pada f(x) untuk menghasilkan g(f(x)), maka dikatakan bahwa kita telah mengkomposisikan g dengan f. Fungsi yang dihasilkan disebut kompoosisi g dengan f, yang dinyatakan dengan g°f. Jadi (g°f)(x) = g(f(x))

Sifat fungsi komposisi tidak komulatif f°g ≠g°f

GRAFIK FUNGSI SINUS

GRAFIK FUNGSI COSINUS

GRAFIK FUNGSI TANGENT

 Contoh Soal :

1. Gambarlah grafik fungsi kubik y=x3-1 !​
2. Jawab​
3. Kita Uji Coba dengan memasukan nilai x untuk mecari nilai y setelah itu kita membuat grafik berdasarkan koordiat yang didapatkan.​
4. a=1 ; b=0 ;c=0 ; d=-1​

ini grafiknya

Titik uji coba : 

Kalkulus ! Bilangan Real Nilai Mutlak

Nilai Mutlak Bilangan Real

     Salah satu definisi yang banyak digunakan pada bilangan real adalah nilai mutlak. Sebagai contoh, di kehidupan sehari-hari kita mengenal konsep selisih dua bilangan, yaitu nilai mutlak dari suatu bilangan dikurangi bilangan yang lain. Seperti kita ketahui bahwa pengurangan dua buah bilangan real dapat menghasilkan bilangan positif atau bilangan negatif atau nol. Tetapi dalam konsep selisih dua bilangan real yang kita kenal merupakan bilangan nonnegatif.

Secara sederhana makna dari │x│adalah jarak antara titik x dengan titik 0.

Secara umum, makna dari │ x - y│adalah jarak anatara titik x dengan titik y.

Definisi tersebut dapat pula dinyatakan sebagai

  

Persamman Nilai mutlak

Masalah umum : 

Tentukan soal dari:

│a x + b│= k ; k ≥ 0

penyelesaian : 丨a x + b丨=k ⇔ a x + b = k atau a x + b = - k

Pertidaksamaan nilai mutlak 

Dasar penyelesaian nikai mutlak adalah : 

a. jika a bilangan real positif maka:

│x│< a ⇔ - a < x < a

b. jika a bilangan real positif maka :

│x│> a ⇔ x < - a atau x > a

Beberapa sifat dasar dari nilai mutlak bilangan real diantaranya:

• 
•  jika dan hanya jika   
• 
• , asalkan  

Menyelasaikan Pertidaksamaan

• hal yang dapat dilakukan 

• Menambah sebuah bilangan yang sama kepada setiap ruas pertidaksamaan
• mengalikan setiap ruas petidaksamman dengan bilangan real postif
• mengalikan setiap ruas petidaksamman dengan bilangan real postif, namun kita harus mengubah arah pertidaksamaan yang ada
• kuadratkan setiap raus, namun kita harus pastikan bahwa nilainya positif semua di setiap ruasnya.