Kalkulus 1_1

Kalkulus 1 : Bilangan Real

Dalam matematika, bilangan riil atau bilangan real menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π. Bilangan rasional direpresentasikan dalam bentuk desimal berakhir, sedangkan bilangan irasional memiliki representasi desimal tidak berakhir namun berulang. Bilangan riil juga dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.
Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides.

Pertidaksamman

Adalah himpunan bilangan yang memenuhi sifat urutan bilangan tertentu.

pertidaksamaan dinyaakan dengan salah satu tanda dari lambang berikut : > ≥ ≤ <.

1. p < q artinya p lebih kecil dari pada q

2. p > q artinya p lebih besar dari pada q

3. p ≤ q artinya p lebih kecil atau sama dengan q

4. p ≥ q artinya p lebih besar atau sama dengan q

Sifat-Sifat Pertidaksamaan

1. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama

Jika a < b maka:

a + c < b + c

a – c < b – c

2. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positifyang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka:

a.c < b.c

a/b < b/c

3. tanda pertidaksamaan akan berubah jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama

Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka:

a.c > b.c

a/c > b/c

4. tanda pertidaksamaan tidak berubah jika kedua ruas positif masing-masing dikuadratkan

Jika a < b; a dan b sama-sama positif, maka: a² < b²

Pertidaksamaan sederhana

Solusi pertidaksamaan adalah himpunan bilangan yang memenuhi pertidaksamaan. Solusinya dapat digambarkan pada garis bilangan.

Contoh :

Solusi dari : x + 4 > 7

Ruas kiri dan kanan dikurangi 4 diperoleh,

           x + 4 – 4 > 7 – 4

                       x > 3

Jadi semua nilai x lebih besar dari 3 yang memenuhi pertidaksamaan,

*Pertidaksamaan Pecahan

→ ada pembilang dan penyebut
Penyelesaian:

1. Ruas kanan dijadikan nol
2. Samakan penyebut di ruas kiri
3. Faktorkan pembilang dan penyebut (jika bisa)
4. Cari nilai-nilai variabel yang menyebabkan pembilang dan penyebutnya sama dengan nol (harga nol untuk pembilang dan penyebut)
5. Gambar garis bilangan yang memuat semua nilai yang didapatkan pada langkah 4 Apapun tanda pertidaksamaannya, harga nol untuk penyebut selalu digambar dengan titik putih (penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan 0 agar pecahan tersebut mempunyai nilai)
6. Tentukan tanda (+) atau (–) pada masing-masing interval  

  *Pertidaksamaan Dan Interval

Persamaan (x2 + 2x – 8 = 0) solusinya adalah sebuah titik di dalam garis bilangan R (x1 = –4, x2 = 2)

Pertidaksamaan (x2 + 2x – 8 ≤ 0) solusinya adalah sebuah interval tertutup, interval terbuka atau kombinasi, (HP = {x:–4 ≤ x ≤2})

Interval adalah himpunan dari R yang memenuhi sifat urutan bilangan tertentu.

Interval terdiri interval terbuka, tertutup atau kombinasi dari keduanya.Interval disajikan dengan notasi himpunan, interval dan garis bilangan

*Pertidaksamaan sederhana

Solusi pertidaksamaan adalah himpunan bilangan yang memenuhi pertidaksamaan. Solusinya dapat digambarkan pada garis bilangan. 

Contoh :

Solusi dari : x + 4 > 7

Ruas kiri dan kanan dikurangi 4 diperoleh,

           x + 4 – 4 > 7 – 4

                       x > 3

Jadi semua nilai x lebih besar dari 3 yang memenuhi pertidaksamaan

*Pertidaksamaan kuadraik

Pertidaksamaan kuadrat adalah pertidaksamaan yang memiliki variabel paling tinggi berpangkat dua. Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat dalam variabel x adalah

(i) ax²+ bx + c > 0

(ii) ax²+ bx + c≥0

(iii) ax²+ bx + c < 0

(iv) ax²+ bx + c≤0

Contoh soal:

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan x２- 8x + 15 ≤ 0 adalah

x２- 8x + 15 ≤ 0

(x - 5)(x - 3) ≤ 0

x = 5 ⋁ x = 3

HP = {x|3 ≤ x ≤ 5}