Kalkulus 2 Koordinat Polar

Sistem Koordinat Polar

Sebuah sistem koordinar menyatakan suatu titik pada bidang dengan sepasang bilangan terurut yang disebut koordinat. Seperti yang telah kita ketahui, koordinat Cartesius diperkenalkan oleh Descartes yang merupakan jarak berarah dari dua sumbu yang saling tegak lurus.
Pada pembahasan kali ini saya akan merangkum materi tentang suatu sistem koordinat yang disebut  yang disebut sistem koordinat polar atau sistem koordinat kutub. Sistem ini diperkenalkan oleh Newton, dan lebih mudah digunakan pada banyak kasus.

Pada sistem koordinat polar ini, kita memilih sebuah titik pada bidang yang disebut dengan titik kutub atau titik asal. Setelah itu, buat suatu garis yang berawal dari titik asal tersebut yang disebut sumbu polar atau sumbu kutub. Sumbu ini biasanya digambar secara horizontal ke kanan dan berimpit dengan sumbu x pada koordinat Cartesius.

Misalkan P adalah suatu titik pada bidang. Jika r adalah jarak dari O (titik asal) ke P , dan $\theta$ adalah sudut (biasanya diukur dalam radian) antara sumbu polar dan garis OP, maka pasangan berurut (r,$\theta$) disebut koordinat polar dari titik P.

Kita sepakati bahwa sudut adalah positif jika diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu polar dan negatif jika diukur searah jatum jam. Koordinat (0,$\theta$) menyatakan titik kutub atau titik asal, untuk sembarang nilai $\theta$.

Titik (-r,$\theta$) dan (r,$\theta$) terletak pada garis yang sama melalui O dan berjarak sama yaitu |r| dari O. Jika r > 0, titik (r,$\theta$) terletak di kuadran yang sama dengan $\theta$.

Dalam koordinat Cartesius, setiao titik hanya memiliki satu penyajian. Dalam sistem koordinat polar, masing-masing titik mempunyai banyak penyajian. Titik (r,$\theta$) dapat juga dinyatakan dengan
$(r,\theta +2n\pi )$ atau $(-r,\theta +(2n+1\left)\pi \right)$
dengan n adalah bilangan bulat sembarang.

Hubungan antara koordinat polar dengan koordinat Cartesius dapat dijelaskan sebagai berikut.
Jika titik P mempunyai koordinat polar (r,$\theta$) dan koordinat Cartesius (x,y), maka dengan bantuan gambar dapat dilihat hubungan berikut ini:
$\cos \theta =\frac{x}{r}$ dan $\sin \theta =\frac{y}{r}$
Sehingga, jika kita mengetahui bahwa suatu titk P mempunyai koordinat polar (r,$\theta$), maka koordinat Cartesiusnya adalah (x,y), dengan x dan y diberikan oleh:
$x=r\cos \theta$  dan $y=r\sin \theta$

Sebaliknya, jika kita tahu bahwa suatu titk P mempunyai koordinat Cartesius (x,y), maka koordinat polarnya adalah (r,$\theta$), dimana r dan $\theta$ memenuhi hubungan berikut:
$r^2=x^2+y^2$  dan $\tan \theta =\frac{y}{x}$

Dalam sistem koordinat polar, suatu kurva umumnya dinyatakan dalam bentuk r = f($\theta$), untuk suatu fungsi f.

Koordinat Polar dalam Kalkulus

Garis Singgung

Untuk menentukan garis singgung pada kurva polar r = f($\theta$), kita anggap $\theta$ sebagai parameter dan menulis persamaan parametriknya sebagai:

$x=r\cos \theta =f\left(\theta \right)\cos \theta$
$y=r\sin \theta =f\left(\theta \right)\sin \theta$

Dengan metode penentuan kemiringan garis singgung m pada kurva parametrik kita akan peroleh

$m=\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta }{dx/d\theta }=\frac{f^{\prime }\left(\theta \right)\sin \theta +f\left(\theta \right)\cos \theta }{f^{\prime }\left(\theta \right)\cos \theta +f\left(\theta \right)\sin \theta }$

Kurva mempunyai garis singgung horizontal di titik dengan dy/d$\theta$ = 0, asalkan dx/d$\theta$ # 0. Kurva mempunyai garis singgung vertikal di titik dengan dx/d$\theta$ = 0, asalkan dy/d$\theta$ # 0.

Luas

Untuk menurunkan rumus luas daerah yang dibatasi kurva dalam persamaan polar, kita perlu menggunakan rumus luas sektor/juring dari suatu lingkaran dengan jari-jari r, yaitu
$L=\frac{1}{2}{r}^2\theta$
dengan $\theta$ adalah sudut pusat yang diukur dalam radian. Rumus ini didapat dari fakta bahwa luas sektor/juring lingkaran adlah sebanding dengan sudut pusatnya.

Misalkan D adalah daerah yang dibatasi kurva polar r = f($\theta$) dan oleh dua garis $0\le b-a\le 2\pi$ = a dan $\theta$ = b, dimana f  adalah kontinu dan tak negatif serta $0\le b-a\le 2\pi$.
Kita membagi selang [a,b] menjadi n anak selang yang sama panjang, dengan titik-titik ujung ${\theta }_0,{\theta }_1,...,{\theta }_n$, dan panjang masing-masing anak selang adalah $△\theta$. Dengan demikian, daerah D juga terbagi menjadi n daerah bagian, yang masing-masing memiliki sudut pusat $△\theta$.

Kita pilih ${\theta }_i^{\ast }\in [{\theta }_{i-1},{\theta }_i]$. Jika $△L_i$ menyatakan luas daerah bagian ke-i, maka daerah ini dapat dihampiri dengan luas juring lingkaran dengan jari-jari $f\left({\theta }_i^{\ast }\right)$ dan sudut pusat $△\theta$, yaitu

$△L\approx \frac{1}{2}\left(f\right({\theta }_i^{\ast }){)}^2△\theta$

Sehingga hampiran untuk total luas daerah D adalah

$L\approx {\sum }_{i=1}^n\frac{1}{2}\left(f\right({\theta }_i^{\ast }){)}^2△\theta$

Perhatikan bahwa jumlah di atas adalah sebuah jumlah Riemann dan nilai hampiran akan semakin mendekati luas Daerah D jika n menuju takhingga.

Akhirnya, kita peroleh rumus untuk menentukan luas daerah D sebagai berikut.

$L={\int }_a^b\left(f\right(\theta ){)}^{2}d\theta ={\int }_a^b\frac{1}{2}{r}^{2}d\theta$

Panjang Kurva

Kita ingin menentukan panjang kurva dari suatu persamaan polar r = f($\theta$) untuk $a\le \theta \le b$. Dengan mengasumsikan bahwa f ' kontinu pada selang $[a\le \theta \le b]$, kita dapat menggunakan teorema panjang kurva untuk menentukan panjang kurva tersebut, yaitu

$P={\int }_a^b\sqrt{{\left(\begin{array}{c}\frac{dx}{d\theta }\end{array}\right)}^2+{\left(\begin{array}{c}\frac{dy}{d\theta }\end{array}\right)}^2}d\theta$

Karena $x=r\cos \theta$ dan $y=r\sin \theta$, maka panjang kurva dari suatu persamaan polar r = f($\theta$) untuk $a\le \theta \le b$ dapat ditentukan sebagai berikut:

$P={\int }_a^b\sqrt{r^2+{\left(\begin{array}{c}\frac{dr}{d\theta }\end{array}\right)}^2}d\theta$